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FONCTION de SMARANDACHE

Division des factorielles: quel est le plus petit entier qui ne divise par la factorielle?

Anglais: Smarandache function

APPROCHE

Construisons le tableau suivant: En ligne les factorielles et leur valeur. En colonne la valeur de la fonction de Smarandache: pour chaque ligne n, je cherche la première valeur de factorielle divisible par n et je donne à la fonction la valeur du nombre en factorielle. Exemple: avec 10, la première valeur de factorielle divisible par 10 est 120 qui est 5! Alors S(10) = 5. Rappel: le trait vertical se lit " divise".

Fonction et suite de Smarandache
La fonction de Smarandache S(n) est le plus petit nombre entier dont n divise la factorielle. Valeurs: D'abord étudiée par Lucas (1883), Neuberg (1887), puis par Aubrey Kempner (1918), lequel donne un algorithme pour calculer S(n). La fonction est redécouverte par Florentin Smarandache (1980).

Propriétés

Dans la mesure où n divise n!, S(n) est égal au plus à n. D'ailleurs un nombre plus grand que 4 est un nombre premier si et seulement si S(n) = n. En 1991, Paul Erdös conjecture que la suite de Smarandache est constituée des plus grands facteurs premiers de nombres pour presque tout n (cad. tous, sauf un nombre fini). La série 1/S(n)! converge vers 1,09317…, la constante de Smarandache. S(n) / n! converge vers 1, 71400…

Suite	Sous-factorielle
Voir	Suites et séries
DicoNombre	Nombre 1, 093…
Sites	Integer Sequence Smarandache function – Mathworld
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Compter/Smaranda.htm