NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/04/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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FACTORIELLES

Théorème de Wilson

Divisibilité des factorielles plus un.

Et, quelques curiosités sur les factorielles.

Pour commencer …
Propriété Voyons une propriété plus simple que celle énoncée par le théorème de Wilson. On sait évidemment que tous les nombres jusqu'à n divisent le nombre factoriel n. Mais, est-ce que le nombre n divise la factorielle précédente (n – 1) ! ? Par exemple, est-ce que 6 divise 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ? La réponse est toujours oui pour n supérieur à 4, sauf si le nombre n est premier.		Exemples
Théorème Si n > 4 est composé alors n divise (n – 1)!

Voir Brève 856

THÉORÈME DE WILSON

Théorème et formulations alternatives

(n – 1)! + 1 est divisible par n, seulement si n est premier.	Pour que n divise (n – 1)! + 1, il faut et il suffit que n soit premier.
Si p est premier, alors (p – 1)! + 1 est divisible par p	Pour p > 0, un entier premier: (p – 1) ! -1 mod p

Ce Théorème parmi les plus importants de la théorie des nombres

Formulé en 1770 par Waring au nom de son ex-élève John Wilson (1741-1793).

Était connu de Leibniz (1646-1716), démonté par Lagrange en 1771.

Suitede l'historique >>>

Exemples

À noter

n! + 1 = premier: existence en nombre infini ?

n! + 1 = carré: existence en nombre infini ?

Voir Des exemples

Application typique
Comment évaluer le reste de la division par 71 de 61! et de 63! L'astuce consiste à prendre –1 et non 70 comme résidu de 70 mod 71 et ainsi de suite … Le reste et une simple question de calculs.

Factorielles consécutives
Deux factorielles consécutives +1 sont premières entre elles: (n! + 1, (n+1)! + 1) = 1 Démonstration
Elle repose sur la propriété des PGCD	(a,b) = ( a, b – ka)
Notre expression peut ainsi s'écrire:	(n! + 1, (n+1)! + 1) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n + 1) (n! + 1) ) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n + 1)n! – n – 1) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n+1)! – n – 1) = (n! + 1,– n) = 1

Premier de Wilson

Nombres tels que p² divise (p – 1)! + 1.
Sachant que le théorème de Wilson dit que tout premier p divise (p – 1)! + 1.

Les trois seuls connus: 5, 13 et 563.

Le suivant serait > 5 . 10⁸ – K. Dilcher et C. Pomerance

Voir Nombre 563 / Nombre de Wilson / Types de premiers

Historique

Vers 1000 – Le mathématicien arabe Alhazen (965-1039) fait référence à cette propriété dans l'un des ses écrits.

vers 1700 – Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) énonce cette propriété, sans la démontrer.

1770 – John Wilson, avec son professeur Edward Waring, redécouvre cette propriété et la publie en tant que conjecture.

1771 – Joseph-Louis Lagrange est l'auteur des deux premières démonstrations.

1773 – Leonhard Euler en propose une troisième.

Vers 1800 – Carl Friedrich Gauss (1777-1855) reformule la démonstration d'Euler et en donne une quatrième en utilisant les notations de l'arithmétique modulaire.

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Site	Théorème de Wilson – Wikipédia – Voir les démonstrations
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Compter/Factwils.htm