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Édition du: 17/09/2026 |
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INDEX |
COMBINATOIRE |
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Débutant: les
façons de COMPTER – Diconombre
Page du Dictionnaire des nombres (diconombre.fr)
consacrée à l’art de compter et de dénombrer. Page consacrée aux méthodes essentielles pour
savoir compter Dénombrer une collection d'objets, c'est déterminer
la quantité d'éléments de cet ensemble, soit par un comptage direct, soit par
un calcul à l'aide de techniques particulières, dites combinatoires. Quelles sont les principales méthodes pour
dénombrer des objets ?
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Sommaire de cette page >>>
Principe de la correspondance un à un >>>
Comptage >>>
Tableau à double entrée >>>
Arbre de choix >>>
Diagramme de Venn >>>
Raisonnement |
Débutants Glossaire |
Un brin de théorie
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Les cinq
principes du comptage:
Sans ordre: les objets
peuvent être pris dans n'importe quel ordre. |
Pour compter, on assigne un numéro à chacun des
objets:
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Voir Cardinal
et ordinal
Méthodes de dénombrement
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Chloé
dispose de quatre pantalons et trois chemises. Combien de
tenues possibles ? |
Nommons A, B, C et D les
pantalons et 1, 2, 3, les chemises. Énumérons les
possibilités: A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2,
C3, D1, D2 D3 Bilan: 4 x 3 = 12 tenues
possibles. Voir Produit
cartésien |
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On dispose
de 10 balles numérotées de 1 à 10 et d'un support de 10 trous. Combien de
dispositions possibles ? |
Dans le premier trou, on
choisit une balle parmi 10. Dans le deuxième trou,
on place une balle parmi les 9 qui restent. Une parmi les 8 qui
restent dans le troisième trou; etc. Bilan: 10 x 9 x 8 x 7 x
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10! = 3 628 800 Voir Factorielle |
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Combien de
carrés dans ce quadrillage ? Dénombrement par comptage
Bilan: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 6 x 7 x 13 / 6
= 91 Voir Somme des carrés
/ Brève n°383
/ Carrés dans le carré |
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On fait un
herbier avec des fleurs bleues, rouges ou vertes. Elles ont 3, 4, 5 ou de
multiples pétales. Les fleurs
bleues sont toujours multi-pétales et il n'y a pas de fleurs vertes à 3 ou 4
pétales. Combien de
possibilités ? Le tableau à double
entrée montre qu'il y a sept possibilités de fleurs sur un total de 3 x 4 =
12 possibilités. Il est parfois plus
facile de compter ce qu'il n'y a pas: ici 3 bleues et 2 vertes = 5 fleurs
inexistantes. |
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Combien de
nombres de deux chiffres peut-on écrire avec les chiffres 3, 4 et 5 ? Le tableau à double
entrée montre qu'il y a 3 x 3 = 9
nombres à deux chiffres formés avec les chiffres 3, 4 et 5; dont 6 seulement
sont différents (rouges). |
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On se
propose de connaitre la quantité de choix de repas possibles à partir d'une
carte suivante:
L'arbre de choix montre
les diverses possibilités: Ayant choisi la salade puis
le saumon, on a encore le choix entre quatre desserts. Ayant choisi le poulet,
encore quatre desserts; et idem pour le choix du bœuf. Avec la salade, on
trouve 3 x 4 = 12 possibilités. En choisissant la
terrine, même jeu de possibilités et idem avec la sardine. Finalement, il y a 3 x
12 = 36 possibilités de types de repas avec cette carte de menus. Avec l'habitude, le
dessin de l'arbre devient inutile. |
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Combien de
nombres de trois chiffres peut-on écrire avec les chiffres 3, 4 et 5 ? Chiffres quelconques L'arbre de choix
ci-contre montre les 27 possibilités. Ici, le dénombrement
semble assez facile:
Bilan: 3 x 3 x 3 = 27 possibilités. Chiffres tous différents On repère avec un D dans
la colonne de droite les cas où les chiffres sont tous différents. Il y en a
six. Un simple raisonnement
permet de les dénombrer: après avec choisi un nombre
parmi trois pour les centaines, il ne reste plus que deux possibilités pour
les dizaines et, finalement, le chiffre des unités est imposé par la chiffre
qui reste. Bilan: 3 x 2 = 6 nombres
de trois chiffres avec des chiffres différents. |
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Problème Examen avec
trois matières: Algèbre, Biologie et Chimie pour 41 étudiants. Le tableau
indique les non-reçus selon la ou les matières:
Combien sont-ils
à avoir échoué dans une matière au moins ? Commentaires Le diagramme de Venn est ici
complètement résolu et il donne bien d'autres renseignements: Avec 41 candidats, si 15
ont échoué quelque part, il y en a 26 qui ont réussi dans les trois matières
à la fois. Si quelqu'un a échoué en
chimie, il a aussi manqué une autre matière (C seul = 0) Il y a 3 personnes qui on réussi l'algèbre sans
réussir la chimie et la biologie (zone de B et C sans A => 1 + 2 + 0 = 3) |
Résolution en trois temps Trois zones (ici des
cercles) représentent les échecs dans chacune des disciplines. De manière évidente, on
peut dire que l'intersection ABC contient un individu.
Parmi les 2 qui ont
échoué en AB, un a aussi échoué en ABC; reste un seul individu qui a échoué
en AB seulement. Même raisonnement pour AC en propre: 3 – 1 = 2 et pour BC: 6
– 1 = 5.
Parmi les 12 qui ont
échoué en A, 5 + 1 + 1 ont aussi échoué ailleurs. Reste: 12 – 7 = 5 qui ont échoué
en A seulement. Pour B: 5 – 4 = 1 et pour C: 8 – 8 = 0.
Bilan: 5 + 1
+ 1 + 1 + 5 + 2 + 0 = 15 personnes ont
échoué à au moins une matière (somme des nombres dans les cercles). |
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Combien de
nombres de quatre chiffres peut-on écrire avec tous des chiffres de 0 à 9 ? Combien de
nombres de quatre chiffres avec des chiffres tous différents ? |
Chiffres quelconques
Bilan : 10 x 10 x 10 x 9 = 9 000 nombres de
quatre chiffres. Chiffres tous différents
Bilan: 9 x 9 x 8 x 7 = 4 536 nombres de quatre
chiffres avec chiffres différents. |
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Voir DicoNombre 4 536
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Combien de
"1" dans tous les nombres de 0 à 999 ? |
Bilan: 100 + 100 + 100 = 300 fois le "1" dans les
nombres de 0 à 999. Note: un décompte semblable
donnerait 190 fois le
"0". |
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Combien de
nombres de quatre chiffres comporte un "0" ? |
On pourrait faire le décompte général:
Un raisonnement évite ce décompte fastidieux: D'abord, il ne faut pas compter les "0"
car avec 1000, on compterait ce nombre trois fois. Comment s'en sortir ? L'astuce, souvent employée, consiste à compter
les nombres sans "0". Parmi les 9 000 (9 999 – 999) nombres à quatre
chiffres, on choisit le chiffre des milliers (1 parmi 9, sans le
"0"); le chiffre des centaines (1 parmi 8, sans le "0",
ni celui déjà choisi); etc. Bilan: 9 x 9 x 9 x 9 = 6 561 nombres de quatre
chiffres sans le "0". Soit: 9 000 – 6 561 = 2 439 nombres de quatre chiffres avec le
"0". |
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Soit 10
points non alignés, combien peut-on former de segments ? Une illustration aide au
raisonnement:
Bilan: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 Voir Somme des entiers |
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Combien de
rectangles dans ce quadrillage ? Dénombrement par comptage
Dénombrement par raisonnement Les rectangles sont formés
par un couple de droites horizontales non confondues et un couple de droites
verticales non confondues.
Bilan: 21 x 21 = 441 rectangles |
Note: Pour ceux qui voudraient poursuivre le décompte
par comptage: 91 + 2x6 (5+4+2+1) + 2x5
(3+4+2+1) |
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Sur cette grille,
on souhaite placer six pions tels que sur chaque ligne et sur chaque colonne,
il n'y ait qu'un seul pion. Combien de
possibilités ? Dénombrement par raisonnement Choix de 1 position
parmi 6 sur la colonne de gauche; Choix de 1 position
parmi 5 sur la colonne suivante; Etc. Bilan: 6 x 5 x 4 x 3 x 2
x1 = 6! = 720 dispositions différentes. |
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Pour aller plus loin
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Les cas exposés ici sont simples. Rapidement vous serez confronté
à des cas plus délicats. Les outils à connaitre seront:
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Rappel: Faites un double-clic pour un retour en haut de page
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