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Centre gravité du TRIANGLE
Centre géométrique, isobarycentre
Centre de masse, centre d'inertie
Centroid (anglais)
Point médian
sur DicoNombre
Nous allons
positionner le centre de gravité, énoncer quelques
relations géométriques et, calculer les coordonnées du
centre de gravité. Nous démonterons par la méthode des vecteurs que le ces
coordonnée sont la moyenne
arithmétique des coordonnées des sommets. |
Voir Barycentre – Glossaire
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Géométrie |
Physique |
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Centre géométrique ou centroïde: moyenne arithmétique de tous les points d'une
figure. Ne pas confondre avec le centre de la figure. Identique au centre de
masse si la figure est "homogène". Centroid Geometric center |
Centre de masse ou centre
d'inertie. Identique au centre de
gravité si le champ de gravitation est uniforme. Center of mass |
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Physique |
Mathématique |
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Centre de gravité: point
d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Fonction du champ de
gravitation. C'est le point
d'application du poids. Center of gravity |
Barycentre: centre de
gravité d'un objet pour lequel chaque point peut être affecté d'un
coefficient de pondération. Généralisation de la
notion de centre de gravité. Barycenter |
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Bilan |
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Si tout est simple
(matériaux homogène, champ de gravitation uniforme), tous ces points sont
confondus, et on parle le plus souvent de centre de gravité. Analogie: il est le
point où une découpe de la forme pourrait être parfaitement équilibrée sur la
pointe d'une épingle. |
En géométrie pure, les
Anglais ont inventé le mot "centroid",
alors que les Français utilisent le mot "centre de gravité". Le mot "centre
géométrique" est peu usité. Le mot
"centroïde" commence à apparaître. |
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Centres de
gravité (de masse) du triangle (physique)
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Surface |
Plaque homogène |
G |
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Sommets |
Boules identiques |
G |
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Périmètre |
Tiges homogènes |
Voir Coordonnées
barycentriques
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Le centre de
gravité (G) du triangle
quelconque se trouve à l'intersection des trois médianes (AMA
, BMB , CMC). Le centre de
gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet. CG = 2/3 CMC En prenant
la hauteur issue
du même sommet, celle-ci est partagée également en tiers (théorème de Thalès) |
Le centre de gravité
du triangle est situé au (1/3, 2/3) de la
médiane. |
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Recherche du centre de gravité Le triangle homogène est
découpé en fines bandes par des droites parallèles à un des côtés. Le centre géométrique (centroïde) de chaque bande-trapèze (point de concours
des diagonales) est le centre de gravité de la bande. Procédé reconduit pour
des bandes de plus en plus fines, alors la succession des centres de gravité
se situent sur une droite qui est la médiane du triangle. La même méthode
reconduite avec les deux autres côtés engendre les deux autres médianes. Le centré de gravité est leur point de
concours. |
Les centres
géométriques des bandes, aussi fines que possible, dessinent la ligne médiane
du triangle. |
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Centre de gravité (autre vision) Chaque médiane partage
un triangle en deux
triangles de même aire (car même hauteur et bases de même longueur). Chacun de ces triangles
peut également être partagé en deux par les médianes et produire quatre
triangles de même aire. De sorte que le centre de
gravité du grand triangle est la résultante des deux centres de gravité des
triangles latéraux, chacun à égale distance du centre principal (trait vert). Dit-autrement: si le
centre principal est le point d'appui d'une balance, et les plateaux sont les
centres de gravités latéraux. Alors la masse de chacun des triangles
latéraux, placés sur les plateaux, mettront la balance en position
d'équilibre. Ce procédé peut être
renouvelé à loisir en poursuivant le partage en deux de chaque triangle. |
Le centre de gravité
du triangle est le barycentre des centres de gravité
des triangles latéraux. |
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Suite en Médianes et triangles
Voir Partage du
triangle par une droite et centre de gravité
Merci à
JM Allard pour ses remarques
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Coquin! Je vous surprends à chercher le
point G! |
Voir Pensées & humour
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Relation
cousine de celle du théorème
de Pythagore; Mais
celle-ci qui découle du théorème
d'Apollonius. |
3 (m² + n² + p²) = a² + b² + c² |
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Théorème
d'Apollonius. |
a² + b² – ½ c² = 2 (p +
p')² b² + c² – ½ a² = 2 (m +
m')² c² + a² – ½ b² = 2 (n + n')² |
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Propriété du
point de concours des médianes. |
m + m' = m + ½ m = 3/2 m n + n' = 3/2 n p + p' = 3/2 p |
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En
remplaçant: |
a² + b² – ½ c² = 2 (3/2
p)² = 9/2 p² b² + c² – ½ a² = 2 (3/2
m)² = 9/2 m² c² + a² – ½ b² = 2 (3/2 n)² = 9/2 n² |
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On additionnant tout cela. |
2a² – ½ a² + 2 b² – ½ b²
+ 2c² – 1/2c² = 9/2 (m² n² + p²) |
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Un peu de
calcul. |
3/2 (a² + b² + c²) = 9/2
(m² n² + p²) |
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En
simplifiant par 3/2. |
a² + b² + c² = 3 (m² n² + p²)
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Autre
relation pour un point M quelconque: |
AM² + BM² + CM²
= AG² + BG² + CG² + 3MG² |
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Formule
fondamentale Les
coordonnées cartésiennes du centre de gravité du triangle quelconque sont
égales à la moyenne
arithmétique des coordonnées des sommets.
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A (0, 0); B (18, 0); C (11, 12); G(29/3 = 9,66…, 12/3 = 4 ) |
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Exemple
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Voir Démonstration
vectorielle de ces relations
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Démonstration Montrer que
G est aussi le point de concours des médianes G'. Ce que nous
savons:
Nous allons
démontrer que AM et AG sont colinéaires. Démonstration
qui peut se répéter pour les deux autres médianes. Alors G et G' sont
confondus. |
AM (médiane) et AG (centre de gravité) |
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L'équation de la droite
AM avec K son coefficient directeur. |
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Valeur de K. |
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Coefficient
directeur de AG. |
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Égalité des
coefficients directeurs K et H. |
Les deux
droites AG et AM sont colinéaires et, étant toutes deux issues de A, elles
sont confondues. Idem pour BG
et BN. Ces droites se coupent au même point G. G et G' représentent le même point. |
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Il s'agit de
démontrer que la somme des vecteurs issus du
centre de gravité et joignant les sommets est nulle (ici, avec l'exemple du triangle). |
Propriétés
vraies pour tous les polygones plans. |
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Coordonnées
des vecteurs |
GA = (xA
– xG , yA – yG) GB = (xB
– xG , yB – yG) GC = (xC – xG
, yC – yG)
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Somme (S) de
ces trois vecteurs |
xS = xA
– xG + xB
– xG + xC
– xG = xA
+ xB + xC – 3xG yS = yA
– yG + yB
– yG + yC
– yG = yA
+ yB + yC – 3yG |
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Or, on
connait les coordonnées du centre de gravité. |
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En
remplaçant dans la somme des vecteurs: |
xS = 0 yS
= 0 |
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La somme des vecteurs issus de G est égale au: |
vecteur nul. |
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Propriété Le centre de
gravité d'un polygone (plan) est tel que la somme des vecteurs issus de ce
point vers chacun des sommets est nulle.
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Démonstration Démontrer la
relation vectorielle associée au centre de gravité.
On sait que
le centre du triangle est aussi le point de concours des médianes, situé au
2/3 des sommets. La
démonstration fait intervenir la méthode des vecteurs. Nous
allons caractériser les points du triangle par des vecteurs, tous issus de la
même origine quelconque. (On aurait pu choisir G comme point origine.
Choix d'une origine quelconque pour le plaisir d'un calcul vectoriel
général). |
Exemple de relation
Pour alléger l'écriture, nous allons omettre la
flèche pour les vecteurs. |
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Avec les
trios (u, v, w) et (a, b et c). |
a = v – u b = w – v c = u – w |
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Avec le trio
(x, y et z) caractérisant les milieux des côtés. |
x = u + ½ a = u + ½ (v – u)
= ½ (u + v) y = ½ (u + w) z = ½ (v + w) |
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Les vecteurs
sur les médianes. |
ma = x – w = ½ (u + v) – w mb = z – u = ½ (v + w) – u mc = y – v = ½ (u + w) – v |
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En prenant
le vecteur g, on caractérise également des portions de médianes. |
m'a = g – w m'b = g – u m'c = g – v |
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Or les
portions de médianes (ma) et et les
médianes (ma') sont colinéaires Les vecteurs
sont proportionnels dans le rapport 2/3. |
ma = ½ (u + v) – w = 2/3 (g – w) mb = ½ (v + w) – u = 2/3 (g – u) mc = ½ (u + w) – v = 2/3 (g – v) |
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En
additionnant tout cela, les termes à gauche s'annulent. |
0 = 2/3 (g – w) + 2/3 (g – u) + 2/3 (g – v) |
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Simplification. |
0 = 3g – u – v – w g = 1/3 (u + v + w)
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Formule fondamentale En reprenant
la notation vectorielle. En projetant
les vecteurs sur les axes, les coordonnées cartésiennes du centre de gravité
du triangle quelconque sont égales à la moyenne arithmétique
des coordonnées des sommets. |
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Tétraèdre régulier ou non
Exemple: A (2, 4,
0) B (6, 8,
0) C (8, -2,
0) D (4, 2,
10) G (5, 3,
2,5) Tétraèdre
régulier Distance du centre de gravité à
la base: |
Le centre géométrique
ou centre de gravité se situe à l'intersection des droites joignant un sommet
au centre géométrique de la face opposée. Ces droites sont les médianes du
tétraèdre. Pour tout
tétraèdre, les médianes sont partagées en 1/4, 3/4 par le centre géométrique. Pour le
tétraèdre régulier, AG s'appuie sur la hauteur du tétraèdre et découpe cette
hauteur au 3/4. |
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Centroid
of a Triangle: The centroid of a triangle is kind of the center of the triangle.
If you try to balance the triangle on the tip of your finger, the centroid is
where you'll put your finger to keep it level. A median of a triangle
is a segment joining any vertex to the midpoint of the opposite side.
The medians of a triangle are concurrent. The intersection of the medians
is called the centroid. The four medians of a tetrahedron concur in a point that divides each
of them in the ratio 1:3, the longer segment being
on the side of the vertex of the tetrahedron |
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Suite |
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Voir |
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Aussi |
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