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Édition du: 05/11/2026 |
COURBURE
Rayon de courbure
Sur DicoNombre
Appréciation
de la nature d'une courbe, d'une surface, d'une variété. Notion de virage, de sinuosité, de creux, de bosses … |
Anglais : Curvature
radius
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Dans le plan, la courbure est un nombre associé à
chaque point d'une ligne. Il témoigne du taux de virage de la courbe. Pour la droite, la courbure est constante, elle
est nulle. Pour le cercle, la courbure est également
constante, elle est caractérisée par le rayon du cercle. Elle vaut 1/R. Pour une courbe quelconque, la courbure est
différente en chaque point de la courbe. Il faut imaginer un cercle qui tangente la courbe au point M
considéré. La taille du cercle est ajustée pour refléter la courbure en ce
point. Son rayon permet de définir la courbure 1/R en ce point. Le cercle est
appelé le cercle osculateur de la courbe. |
Droite
Courbure nulle Cercle
Courbure constante 1/R Courbe
Courbure variable: 1/R en M |
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Une idée du rayon de courbure – Cercle osculateur
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Voir Animation sur la page
de M. Bourne
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La courbure est un nombre qui mesure la rapidité avec laquelle le tracé d'une courbe s'éloigne
du tracé de la tangente au voisinage d'un de ses points. |
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Comme souvent en analyse mathématiques, on
s'intéresse non pas au point lui-même, mais à son voisinage. Soit deux point M1 et M2
entourant le point M, distants d'une longueur h. Les perpendiculaires à
ces deux tangentes. L'angle La courbure est égale au rapport entre Un vecteur dans la
direction MO lui est associé à la courbure. |
Note: Pour le cercle, cette
définition est cohérente avec celle de la mesure des angles en radians:
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Pour apprécier la notion de courbure sur le plan
mathématique, considérons trois niveaux: La courbe C et ses sinuosités; Les tangentes qui enveloppent la courbe le long de
ses sinuosités; La courbure qui donne une idée du comportement des
tangentes. Bilan
En fait, la dérivée seconde (sa norme) de la
courbe définie paramétriquement est prise comme
définition de la courbure d'une courbe. |
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Pour une courbe, un seul nombre définit la
courbure. Pour une surface, il faut ajouter une dimension; il faut deux
nombres pour définir la courbure. De toutes les courbes qui passent par un point de
la surface, on retiendra la courbure maximale et la courbure minimale, avec les signes qui conviennent. Une condition
supplémentaire: la normale principale à la courbe doit avoir la même
direction que la normale à la surface. La courbure
moyenne en un point
est la demi-somme de ces deux valeurs. La courbure totale est leur produit. |
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Nous venons de constater que la notion de courbure fait intervenir les dérivées où il est question
de voisinage, de différences aussi petites que possible. C'est le domaine des
équations
différentielles. L'aspect plus ou moins tourmenté des courbes,
surfaces, variétés de
dimension supérieure est caractérisé par des fonctions incluant des dérivées
du premier ou du deuxième ordre pour chaque point de l'objet considéré. Selon l'extension des
valeurs nécessaires pour décrire ces objets et leurs courbures, nous aurons
affaire à une grandeur – un nombre simple (scalaire) ou plus généralement un vecteur, une matrice
– un tableau de grandeurs, ou un tenseur – un tableau
multidimensionnel de grandeurs.
En géométrie, le tenseur
décrit les bosses et les creux d'une structure dans l'espace. Les équations différentielles
associées à ces tenseurs permettent de décrire le comportement de telles
structures. La conjecture
de Poincaré a été démontrée en utilisant de tels outils: le flot de Ricci. Notion
avancée (pour information seulement) Tout étudiant en licence aura à se familiariser
avec ces notions … Pour simplifier l'écriture, les mathématiciens
utilise un symbole
pour caractériser les dérivées d'une fonction multidimensionnelle (ou d'une
fonction dans Rn). Gradient: c'est la somme des
dérivées premières selon tous les axes (ei):
Laplacien: c'est la somme des dérivés secondes selon tous
les axes (ou toutes les variables):
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Rayon de courbure sur courbes
définies |
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Le rayon de courbure en un point donné de
la courbe définie par y = f(x) est donné par la formule => |
Voir Démonstration
(anglais) |
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Exemple: trouvez le rayon de
courbure en x = 1 de => |
y = 2x3
– x + 3 Pour x =
1, y = 2 – 1 + 3 = 4 |
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Allure du graphe => Dérivées
Voir Dérivées |
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Calcul
de la courbure |
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Et
sa valeur en x = 1 |
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Coordonnées
du centre du cercle osculateur |
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On connaît un point du cercle: |
T (1, 4) |
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La pente de la
tangente: |
dy/dx = 6x² - 1, soit pour x=
1: m = 5 |
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La normale à cette tangente, un rayon
du cercle: |
p = – 1/5 |
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Équation de la
droite portant ce rayon: |
y – y1 = m (x – x1) y – 4 = -1/5
(x – 1)
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Ordonnée du centre: |
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Distance centre au point de tangence =
rayon de courbure: |
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Résolution de l'équation du second degré: |
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Valeur de x avec la racine négative
(cf. allure de la courbe) |
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We can draw a circle that closely fits nearby points
on a local section of a curve. We say the curve and the circle osculate (which means "to kiss"), since the two
curves have the same tangent and curvature at the point where they meet. The radius
of curvature of the curve
at a particular point is defined as the radius of the approximating circle. This
radius changes as we move along the curve. |
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Suite |
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