NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/09/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	MOTIFS & FORMES
Débutants Général	REPDIGIT			Glossaire Général
INDEX Motif Magie	Repdigits	Repunits	Presque repdigit
	999 …	Division des Repunits	Division de 999 …
	888 …	Produits	Divisibilité par 99 …9
		Bi-repdigit	Nombres périodiques
	Sommaire de cette page >>> Motif infini >>> Divisibilité par un repdigit en 9 >>> Cas de 999 >>> Motif itératif >>> Explication >>> Carré – Calcul magique >>> Analyse théorique des racines carrés des 9-repdigits >>> Racine carrée de 9999… >>> Puissances des nombres en 999…

9-REPDIGIT

Nombres avec le chiffre 9 répété.

Exemple de propriété avec le cube des 9-repdigits

Ce motif est itératif (semblable quelle que soit la quantité de 9) >>>

Voir Multiplication posée

Motif infini

Le nombre 99 se prête à ces formes palindromiques. Le motif se prolonge indéfiniment avec les repdigits en 9. Avec 98, 97 … on met en évidence des sommes retournées.

Divisibilité par un repdigit en 9
Notez ce motif: Les chiffres de 87 sont les compléments à 9 de ceux de 12; La somme est égale à 99 par construction; La concaténation 1287 est un multiple de 99; et Le facteur 13 est égal au premier nombre choisi plus 1.

Suite en Divisibilité par 99 …9

Cas de 999

Prenons par exemple 999, son double, son carré, son cube … et les sommes par paquets de 3. Résultat Somme 3 Nombre 999 Double 1 998 998 + 1 = 999 Carré 998 001 998 + 1 = 999 Cube 997 002 999 997 + 2 + 999 = 2 x 999 P4 996 005 996 001 996 + 5 + 996 + 1 = 2 x 999 P5 995 009 990 004 999 995 + 9 + 990 + 4 + 999 = 2 x 999 En opérant par blocs de trois chiffres, la somme est égale au nombre 999 ou son double. Avec la puissance 6, on trouverait le triple: 999^6 = 994 014 980 014 994 001 => 2 997 = 3 x 999

Voir Nombres de Kaprekar

Motif itératif
Repdigit	Double	Carré	Cube
9	18	81	7 2 9
99	1 98	98 01	97 02 99
999	1 998	998 001	997 002 999
9 999	1 9998	9998 0001	9997 0002 9999
99 999	1 99998	99998 00001	99997 00002 99999
999 999	1 999998	999998 000001	999997 000002 999999

Explication
Propriété essentielle d'un repdigit en 9: Il est inférieur d'une unité à une puissance de 10. 9 = 10 – 1 99 = 100 – 1 999 = 1000 – 1 Etc. Le double de 999 devient: 999 x 2 = (1000 – 1) x 2 = 1000 + 998 => 1 + 998 = 999 Le carré de 999 devient: 999^2 = (1000 – 1)^2 = 1 000 000 – 2 000 + 1 = 998 000 + 1 Etc.

MAGIQUE!
Nous avons tous les ingrédients pour nous émerveiller: 999 = 1000 – 1 (n – 1)² = n² – 2n + 1 = (n – 2) n + 1 Même chose pour 1001: 1001= 1000 + 1 (n + 1)² = n² + 2n + 1 = (n + 2) n + 1	Voir Nombre 98 et calcul du carré
La méthode s'applique facilement pour les nombres proches de 10k. On a compris la méthode …

Voir 999 est magique / 999 et fractions / Passage d'un nombre carré au suivant / Magie

DicoNombre 9800

Racine carrée de 9999 …
Présence du chiffre 9 en cascade dans la racine carrée des 9-repdigits ayant 2k chiffres. La deuxième ligne du tableau (rouge) indique la quantité de chiffres 9 qui se répètent		Pour information
Mise en évidence à l'aide d'une identité remarquable d'une formule en fonction de racine de 99. L'autre nombre étant un nombre en 10101 …
Propriété remarquable avec le nombre de Lewis Carroll (tous les chiffres sauf le 8).

Voir Racines carrées et leurs décimales

Racine carrée des nombre en 99_2k avec 100 chiffres

(Notation anglaise avec le point décimal au lieu de la virgule, le 9-repdigit concerné est indiqué en bout de ligne)

Analyse théorique des racines carrés des 9-repdigits			haut
Dualité Les nombres repdigits (pour repeated digit ou monodigites) formés exclusivement du chiffre 9 — notés — possèdent une structure algébrique qui influence directement le comportement de leur racine carrée. Selon que la longueur n du nombre est paire ou impaire, la racine carrée révèle une dualité remarquable : d'un côté, une convergence très rapide vers des entiers réguliers ; de l'autre, des décimales périodiques infinies organisées en motifs cycliques.
	Nombre IMPAIR de 9 () Lorsque la quantité de chiffres est impaire, le nombre s'écrit . Sa racine carrée s'exprime sous la forme : En effectuant un développement limité à l'aide de la formule du binôme généralisée , on obtient : Puisque , la racine carrée d'un repdigit impair en 9 est un nombre irrationnel dont la partie entière comporte chiffres et commence toujours par la séquence 3162.... Exemples d'évaluation () : (cas d'égalité exacte car ). () : () : () :
		Nombre PAIR de 9 () Pour une quantité paire de chiffres, , la factorisation s'écrit : Cette approximation montre que la valeur est extrêmement proche de l'entier , manquant la valeur exacte par seulement . Autre manière de voir (avec identité remarquable) Exemple: Le motif décimal est un nombre quasi-entier Pour tout , le développement décimal adopte une structure constante : Une partie entière composée de k fois le 9. Une suite de k – 1 fois le 9 après la virgule. Le chiffre 4, suivi de k – 1 fois le 9, puis 8, 7, 5... Exemple () : () : () :
Le cas remarquable du 9-repdigit à 18 chiffres Considérons le 9-repdigit composé de dix-huit chiffres 9 : Ce nombre possède une relation remarquable avec le nombre En effet, ou encore : Il suffit alors de prendre la racine carrée des deux membres : d'où Pourquoi ce nombre apparaît-il ? Le nombre n'est pas choisi arbitrairement. Il provient directement de la division du 9-repdigit par . Sa structure s'explique elle-même par le développement décimal de la fraction unitaire : On retrouve ainsi, répété périodiquement, le motif qui contient les chiffres de 0 à 9 à l'exception du 8. Le nombre entier obtenu sur 18 chiffres est donc : La relation entre les deux racines carrées repose finalement sur l'identité très simple : Autrement dit, le facteur 9 devant la seconde racine n'est pas une approximation ni une propriété particulière de la racine carrée : il provient simplement du fait que 81 = 9².

Voir Généralisation / Brève 67-1320

Puissances des nombres en 999…

Les puissances des nombres en 999… engendrent des motifs répétitifs. Cela est dû au fait que: 999 = 1000 – 1, par exemple. Pour le cube (exemple du tableau): (a – 1)^3 = a^3 – 3 a^2 + 3a – 1. La présence des "0", laisse la place à certains motifs pour s'exprimer.

n	n^2	n^3	n^4	n^5
9	81	729	6561	59049
99	9801	970299	96059601	9509900499
999	998001	997002999	996005996001	995009990004999
9999	99980001	999700029999	9996000599960001	99950009999000049999
99999	9999800001	999970000299999	99996000059999600001	9999500009999900000499999

n	n^6	n^7
9	531441	4782969
99	941480149401	93206534790699
999	994014980014994001	993020965034979006999
9999	999400149980001499940001	9993002099650034997900069999
99999	999940001499980000149999400001	99993000209996500034999790000699999

n	n^8	n^9
9	43046721	387420489
99	9227446944279201	913517247483640899
999	992027944069944027992001	991035916125874083964008999
9999	99920027994400699944002799920001	999100359916012598740083996400089999
99999	9999200027999440006999944000279999200001	999910003599916001259987400083999640000899999

Voir Records de 9 dans les puissances de n

Suite	Nombres retournés et 99… Division des repunits Divisibilité des nombres en 99 Divisibilité des nombres permutés Nombres de Kaprekar Nombres périodiques et repdigits en 9 Somme et produit des nombres en 99…
Voir	Fraction en 1/9 Magie – Index Opérations avec 9 Période maximale coupée en deux
Diconombre	Nombre 9 Nombre 99 Nombre 999
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Formes/RepDig9.htm