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Édition du: 05/11/2026 |
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INDEX |
Théorème de Pythagore |
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Théorème de Pythagore
Débutants – Novices
DicoNombre
Page de découverte pour jeunes enfants ou pour novices. Ce théorème,
comme celui de Thalès,
est omniprésent dans toute la scolarité, collège comme lycée et même ensuite. Il donne la mesure de la diagonale d'un rectangle, ou encore celle du grand côté d'un triangle
rectangle. |
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et collège |
Sommaire de cette page >>> Théorème de Pythagore – Visuel >>> La découverte de Pythagore >>> Une découverte universelle >>> La preuve >>> Et avec d'autres unités de mesure? >>> Hypoténuse en escalier >>> Application du théorème de Pythagore >>> Le triangle dans le carré |
Débutants Glossaire |
Voir aussi Le diaporama de Clément (9 ans) /
Toutes les pages
débutants
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Sur ce dessin, comptez les billes:
Vous remarquez qu'il y a 9 + 16 = 25 billes rouges
et oranges, donc autant que de billes vertes. ROUGES + ORANGES = VERTES en
quantité de billes. |
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Le théorème de Pythagore
était connu depuis des siècles. Les égyptiens
utilisaient une corde à nœuds (3, 4, 5) formant un triangle rectangle. On dit que Pythagore
aurait eu l'idée de formuler son théorème en observant cette forme de dallage
au sol dans un palais. Compter les triangles
blancs et les triangles jaunes: il y en a autant dans le grand carré oblique
que dans les deux plus petits carrés réunis. |
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Voir Brève 64-1375
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Pythagore dessine des
triangles rectangles, il découvre un joli triangle dont les trois côtés ont
des longueurs entières en cm. Ça tombe
bien! Pythagore adore
les nombres entiers. |
Un triangle
magnifique: que des nombres entiers pour la
longueur des côtés. En plus, son aire est égale à 6 et son
demi-périmètre à 7.
Il est sacré. |
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Il a l'idée de comparer
les carrés qu'il a dessinés à partir des trois côtés. Il calcule l'aire de
chacun.
Stupéfaction,
l'aire du grand est égale à celle du petit ajoutée à celle du moyen: 9 + 16 = 25 En reprenant
le calcul: 3x3 + 4x4 = 5x5 On écrit
avec la notation des carrés par un petit 2 en haut (on dit: en exposant) : 3² + 4² =
5² |
Surface du
jaune = surface des deux en marron |
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Pythagore
continue ses recherches et découvre de nombreux autres triangles avec des
nombres entiers comme longueurs des côtés. La figure montre
un nouvel exemple pour lequel on vérifie encore: 5² +
12² = 13² 5x5 + 12x12 = 13x13 25 +
144 = 169 |
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Cette fois, il veut en
avoir le cœur net! Il dessine un triangle avec 6 cm et 7cm pour deux des
côtés et il mesure le troisième. Pas de chance, ça ne
tombe pas juste! Il mesure 9,2 cm. Il vérifie tout de même
avec les carrés 6² + 7² =
6x6 + 7x7
= 36 + 49 = 85 9,2 x 9,2 = 84,64 Eh! Pas loin! Il n'a pas de
calculette, mais vérifie tout de même que le nombre qui au carré donne 85 est
plutôt: 85 = 9,22 x 9,22 Évidemment
pas possible de mesurer avec cette précision avec sa règle. |
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Voir Découverte du
nombre qui multiplié par lui-même donne 2 (racine de 2)
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Pythagore
trouve une preuve géométrique qui indique que: Pour tout triangle rectangle: Le grand côté c est
appelé l'hypoténuse. Alors, on énonce: Pour tout
triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés
des deux autres côtés. Note: si on était exigeant, on dirait: le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des longueurs des carrés des deux autres côtés. |
Le théorème ou la relation de Pythagore permet le
calcul de la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle mais aussi la
longueur de la diagonale du rectangle, comme
celle du carré
d'ailleurs.
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Une des
démonstrations possibles est illustrée par cette figure. Avec quatre triangles
rectangles identiques (bleus) et les deux petits carrés (jaunes), on forme le
grand carré de gauche. Pour former la figure de droite, on retire
les deux carrés jaunes, libérant un espace dont l'aire vaut a² + b². Tout en restant dans le
même grand carré, on fait glisser les quatre triangles dans les coins.
L'espace central est un carré de côté c et son aire est c². Ainsi, l'espace libéré (a² +
b²) a la même aire que le carré c². |
Les
carrés en a² et b² occupent la même surface que le carré en c². |
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Pour les curieux Le quadrilatère
noté c² est bien un carré ! |
Ce quadrilatère a ses quatre côtés égaux à la
longueur de l'hypoténuse des triangles rectangles qui sont tous égaux. C'est
un losange. Voyons l'angle au sommet. Il est entouré de deux
angles bleus qui sont en fait les deux angles d'un triangle
rectangle. Leur somme vaut 90° (ils sont complémentaires). L'angle au sommet
du losange vaut 180 – 90 = 90° (un angle droit). Un losange avec un angle droit est un carré. |
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Peut-être un
moyen pour retenir ce mot étrange
Hippopotamus est l'hippopotame en latin et en anglais
Rappel pour l'orthographe;
hippos = cheval et potamos = le fleuve
Le dessin est de
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Et si je dessine
un quadrillage plus petit; de plus en plus petit. Que se passe-t-il? Avec le même triangle
dans un quadrillage plus fin, évidemment les longueurs ne changent pas et la
relation de Pythagore est toujours valable (figures de gauche). Si le triangle est plus
petit (figure de droite), le
théorème de Pythagore s'applique toujours, seulement ce ne sont pas les mêmes
unités. |
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Pourquoi cette remarque sur les unités de mesure
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Plusieurs fois la question m'a été
posée: si je mesure l'hypoténuse en suivant le quadrillage, j'ai l'impression
que ça change les choses. Les marches de l'escalier deviennent de plus en
plus petites. Voyons cela … |
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Quelle est
la longueur de l'hypoténuse si je la parcours le long des lignes du
quadrillage? Oups!
Attention, la ligne verte de la figure n'est pas l'hypoténuse! C'est la
descente d'escalier. On peut compter
les segments verts: il y en a 7, soit une longueur de 7 cm. Plus simple:
Même en
prenant un quadrillage plus petit (Figure
en bas):
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Dans tous
les cas, la longueur de l'escalier vert est égale à la longueur des segments
rouges, et donc, à la longueur des deux côtés du triangle. |
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Voir
aussi:
Problèmes
du même type posée en CM2
Ne pas confondre
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La longueur de l'hypoténuse n'est en
aucun cas la longueur de l'escalier qui décrit l'hypoténuse en suivant le
quadrillage. Oui mais, si le quadrillage devient
infiniment fin. Alors, là, on cherche les ennuis. On s'approche d'un paradoxe. |
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Construction Un triangle rectangle dont l'un des cotés mesure 24 cm. La médiatrice
de l'hypoténuse coupe l'autre côté du triangle à 7 cm de l'angle droit. Quelle est la longueur h du segment de médiatrice ?
Piste
(Figure du bas) On trace le segment rose, qui du fait de la
médiatrice, a une longueur égale à y. Avec une succession de "Pythagore",
il est très facile de calculer successivement y, x et enfin h. Une chance, les données ont été choisies pour
produire des triplets
de Pythagore (valeurs en nombres entiers) Calculs
Le segment de médiatrice mesure h = 15
cm.
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Voir Défis géométriques
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Construction
(Figure du haut) Un triangle rectangle est inscrit dans un carré de
côté 2a. Un sommet commun avec le carré et un sommet au
milieu d'un côté du carré. Quelle est l'aire S du triangle en fonction de
l'aire A du carré ? Piste
(Figure du bas) Les deux triangles verts sont semblables dans un
rapport 1/2 (les trois angles sont égaux deux à deux). Alors, le petit côté du petit triangle vaut a/2. On calcule la longueur de l'hypoténuse de chaque
triangle (x et y) en appliquant le théorème de Pythagore. L'aire du triangle rectangle est S = 1/2 xy. Calculs
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Merci
à Thierry P. qui, par ses questions, m'a amené à composer cette page pour
novices
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