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Le programme de LANGLANDS
La correspondance de Langlands
Les conjectures de Langlands
Le plus important des concepts mathématiques des dernières décennies.
Inutile de dire que ce concept est hors de portée de la majorité d'entre nous,
sauf à être titulaire d'un bon bagage supérieur en mathématiques. Un des mathématiciens participant à ce programme, Edward Frenkel,
s'est pourtant livré à un exercice de vulgarisation dans son
livre Amour et Maths. Il faut
néanmoins bien s'accrocher! |
Le programme Langlands en bref
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Le
programme de Langlands est un projet ambitieux qui a connu de multiples
succès depuis sa première formulation en 1967. Il s’agit d’un ensemble de
conjectures dont
En
2024, avec la résolution du volet géométrique, les trois volets sont résolus. Ce projet, en plus de révéler des structures profondes au cœur des mathématiques, permet d’établir une sorte de dictionnaire qui traduirait un problème difficile en un autre plus simple. Par exemple en reformulant une question de théorie des nombres avec les outils de l’analyse. Un espoir pour démontrer des théorèmes récalcitrants ! |
Quelques mathématiciens du programme
Langlands
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Robert
Langlands a reçu le prix Abel en
2018 pour ses travaux sur le
programme mathématique qui porte son nom. |
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André Weil (1906-1998), mathématicien français de l'Institute for Advanced
Study de Princeton (proche de New-York) est l'un des grands noms de la
théorie des nombres et de la géométrie algébrique. Travaux sur la conjecture de
Riemann. Un des membres
fondateur du groupe Bourbaki. Travaux sur la
fameuse conjecture Shimura-Taniyama-Weil,
celle-ci, qui a été prouvée dans son intégralité en 1999, peut être
considérée comme l'un des éléments du programme de Langlands. |
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En 2002, le mathématicien français Laurent Lafforgue (né en 1966) a reçu la médaille Fields en
2002 pour avoir démontré une partie des conjectures de Langlands. En 2000, après un passage au CNRS, il est professeur de mathématiques
à l'Institut des hautes études scientifiques (IHÉS). |
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Ses travaux sur l'algèbre affine de Kac-Moody, lui offriront
l'occasion de participer au programme de Robert Langlands. Il se fera remarqué pour avoir tatoué la formule de l'amour sur le
corps de sa compagne. Son livre est lisible et
très instructif ! |
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En 2010, Ngo Bao Chau, mathématicien français né en 1972 au Vietnam,
travaille sur le programme de Langlands. Médaille Fields en 2010. D'abord au CNRS, puis à l'université de Paris 13 (Labo LAGA), il
rejoint Princeton en 2007, puis l'université de Chigago
en 2010. En 2004, Gérard Laumon et lui démontrent le lemme
fondamental du programme de Langlands |
Voir Contemporains
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Connexions
entre domaines mathématiques |
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L'analyse mathématique est un
domaine des mathématiques qui est consacré aux calculs exacts de systèmes
compliqués en traitant de très petites quantités. La trigonométrie utilise ces techniques pour définir les
relations entre les angles de figures géométriques. Les
fonctions trigonométriques (sinus et cosinus) sont aussi utilisées pour
décrire des phénomènes ondulatoires. L'étude des
ondes et leur décomposition en tranches de fréquence s'appelle l'analyse harmonique (comme les harmoniques
d'un son). L'outil adéquate s'appelle la transformée de Fourier. |
La théorie des nombres qui traite de relations entre les nombres
entiers. L'exemple typique étant la démonstration du théorème de
Fermat-Wiles. La
résolution générale des équations a conduit Galois à lancer la notion de
groupe et de symétries. La symétrie caractérise un objet dont les propriétés sont
conservées suite à un mouvement dans l'espace ou dans le temps. Un groupe rassemble des éléments qui partagent tous les mêmes
propriétés de symétrie, les mêmes quel que soit l'ensemble d'éléments. |
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Le programme de Langlands tente de mettre en
évidente des propriétés mathématiques communes à tous ces domaines; à établir
un pont entre la théorie des nombres et l'analyse harmonique; de réaliser une
grande théorie d'unification des domaines mathématiques. Son ambition est de mettre au jour les relations
complexes entre la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la théorie
des représentations de certains groupes |
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Le
plus important concept des mathématiques qui est apparu dans ces cinquante dernières
années: la
Grande Théorie d'Unification des mathématiques. Ce champ de recherche
fascinant jette des ponts prometteurs entre des domaines mathématiques qui
paraissent à des années-lumière les uns des autres: algèbre, géométrie,
théorie des nombres, analyse et physique quantique. –Edward Frenkel |
Expliquer
ce qu’est le programme de Langlands n’est pas chose facile. Celui-ci mélange
l’analyse harmonique sur les groupes topologiques non commutatifs,
l’arithmétique des groupes de Galois de corps de nombres et la géométrie
arithmétique. Très concrètement, il s’agit de comprendre
certaines séries génératrices de la forme:
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Le programme
de Langlands fait référence à un ensemble surprenant de comportements
mathématiques existant en théorie des nombres et que 'on retrouve en analyse
harmonique. Formulé sous forme de conjectures,
les preuves sont plus difficiles à trouver qu'envisagé par Langlands.
Néanmoins certaines parties sont prouvées, comme celle démontrée par Laurent
Lafforgue en 2002. En 2004, Ngo
Bao Chau et Gérard Laumon démontrent
le lemme fondamental. Celui-ci stipule que certaines intégrales associées à
deux types différents d'intégration dans deux groupes sont équivalents. |
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Analyse harmonique / Théorie des nombres / Géométrie |
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Le Programme
de Langlands conjecture l'existence de
liens très profonds entre plusieurs domaines fondamentaux des mathématiques,
notamment:
via notamment les travaux sur la théorie de la
résolution des équations algébriques prenant naissance dans les travaux sur
les groupes de Galois.
qui consiste à s'intéresser aux phénomènes ondulatoires
(ondes lumineuses, gravitationnelles, ou sonores) en les "dépliant"
dans le domaine fréquentiel grâce aux séries ou transformées de
Fourier. Dans le cas du programme de Langlands, c'est une
branche bien particulière de l'analyse harmonique qui intervient et qui fait
intervenir les équations différentielles, les fonctions fuchsiennes et les
formes automorphes.
qui, notamment, identifie a symétrie
caractérisant un objet dont les propriétés sont conservées suite à un
mouvement dans l'espace ou dans le temps. |
Image par Sandro
Contenta: s'il est possible de prédire le son émit par un tambour d'après
sa forme, il est aussi possible de prédire la forme du tambour d'après les
sons émis. Idée de propriétés partagées dans un cas comme dans l'autre. |
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Voir Brève 61-1200
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Analogie
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Vous
connaissez peut-être l'analyse de Fourier En analyse de Fourier classique, une procédure appelée transformée de Fourier crée une correspondance
entre deux manières différentes d'appréhender le graphe d'une onde (comme une
onde sonore).
La transformée de Fourier
effectue des allers-retours entre ces deux visions.
La capacité à franchir cette frontière
est essentielle à de nombreuses applications. Sans elle, nous n'aurions pas les
télécommunications modernes, le traitement du signal, l'imagerie par
résonance magnétique, ni de nombreux autres éléments essentiels de la vie moderne. |
Le programme de Langlands propose quelque chose de similaire mais avec des
ondes et des fréquences plus sophistiquées. Exemple Ondes sinusoïdales =>
fonctions propres (Eigenvalue). Alors que la
fréquence d'une onde sinusoïdale est un nombre unique, celle d'une fonction
propre est une liste infinie de nombres. Spectre => ensemble
d'objets de la théorie des nombres qui, selon Langlands, étiquettent le
spectre de fréquences des fonctions propres. De manière assez inattendue,
une procédure proche de la transformée de Fourier relie le côté onde et le
côté spectral. Les ondes et leurs
étiquettes de fréquence proviennent de domaines mathématiques très
différents, de sorte que la correspondance entre elles, lorsqu'elle peut être
prouvée, est souvent riche en renseignements. Par exemple, une preuve
de la correspondance de Langlands de la théorie des nombres pour un ensemble
relativement petit de fonctions dans les années 1990 a permis à Andrew
Wiles et Richard Taylor de prouver le dernier théorème de Fermat, qui a
été pendant trois siècles l’une des questions ouvertes les plus célèbres des
mathématiques. |
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Depuis des décennies,
des mathématiciens du monde entier travaillent sur le programme de Langlands,
un vaste projet d’unification des mathématiques. Une démonstration de plus
de 1000 pages résout aujourd’hui (mai 2024) le volet géométrique, ouvrant de
nouvelles perspectives en mathématiques. |
En mai 2024, neuf
mathématiciens ont publié un ensemble de cinq articles, couvrant près de 1
000 pages, établissant la preuve du programme de Langlands géométrique. Ils sont parvenus à
relier deux continents des mathématiques : la théorie des nombres et la
géométrie. |
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Dennis Gaitsgory (à
gauche) et Sam Raskin, les leaders de l'équipe des neufs mathématiciens. |
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Dans le monde mathématique
classique, disons du
lycée, on connait les nombres en arithmétique et les fonctions en algèbre. |
Dans le monde de Langlands, disons le monde des structures
sophistiquées, au lieu de nombres, on parlera d'espaces vectoriels et au lieu de fonction, on parlera de faisceaux. |
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D'un monde à l'autre Imaginons un monde dans lequel les entiers naturels
sont remplacés par des espaces
vectoriels: la droite remplace le nombre1, le plan remplace le nombre 2,
et ainsi de suite. Les entiers forment un ensemble; les espaces vectoriels (EV) forment une
structure plus sophistiquée que les mathématiciens appellent une catégorie.
Une catégorie comprend des objets (comme des EV) et des morphismes
(relations particulières comme la symétrie) entre ces objets. Bref aperçu du vocabulaire et des concepts
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D'après
le livre
d'Edward Frenkel – Pages 200 à 203
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