Édition du: 16/10/2026

INDEX Types de nombres	INFINI
	Index infini	Introduction	Dénombrable
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	Historique	Transfinis

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Introduction à la notion d'infini
Approche – Diconombre

Page du Dictionnaire des nombres (diconombre.fr).

Tout nombre possède un successeur, et cela indéfiniment. On peut toujours aller plus loin, ajouter encore un pas, puis un autre… mais cette marche sans fin échappe à notre intuition.

L’infini ne se laisse ni saisir ni enfermer : il se dérobe dès qu’on croit l’avoir compris. Pour le représenter, on utilise le symbole ∞, un « 8 » couché, qui évoque à la fois une boucle sans fin et un horizon impossible à atteindre.

Cette page propose une première approche de cette idée vertigineuse, au cœur des mathématiques et de leurs mystères.

Sommaire de cette page

>>> En bref et avec humour

>>> L'infini fascinant – Poster

>>> Nombres

>>> Escalier

>>> Demi-cercle

>>> Cercles

>>> Boules

>>> Vocabulaire de l'infini

Débutants

Nombres

Glossaire

Nombres

En bref et avec humour		haut

	Il faut imaginer Sisyphe heureux. Albert Camus – Le mythe de Sisyphe Sisyphe refuse de mourir. Il s'oppose eux dieux dont Thanatos. Il en sera puni et condamné à pousser un rocher sur une colline. Lorsqu'il approche du sommet, le rocher se met à redescende, et cela éternellement. Odyssée - Homère

Voir Pensées & humour / Expressions avec "infini"

APPROCHE de l'INFINI – LES NOMBRES

haut

Nous savons que les nombres entiers sont en quantité infinie : il en existe toujours un plus grand que les autres.

Chacun des nombres entiers possède un carré ; les nombres carrés sont donc, eux aussi, en nombre infini. Mais chaque carré est plus grand que le nombre dont il est issu… Y aurait‑il alors plus de nombres carrés que de nombres entiers ?

Non ! C’est la même infinité. >>>

En mathématiques de l’infini, il faut bien admettre que les comparaisons sont délicates.

Il y une infinité de nombres entiers,

une infinité de carrés,

une infinité de cubes,

une infinité de puissances m.

La même infinité.

APPROCHE de l'INFINI – L'ESCALIER

haut

Quelle est la distance la plus courte pour aller de A à C ?

le chemin ABC ;

le chemin en escalier ;

le chemin composé d’un grand nombre d’escaliers ;

le chemin composé d’une infinité d’escaliers ;

ou bien la diagonale AC ?

Oui ! Un paradoxe semble montrer que la diagonale aurait la même longueur que la somme de la largeur et de la hauteur. Le seul moyen de lever ce paradoxe est d’admettre qu’il existe différents niveaux d’infini.

Il y a en effet plus de points sur la diagonale que dans le nombre d’escaliers que l’on peut construire pour l’approcher.

Soit la conclusion suivante:

L'infini des nombres entiers est "moins riche "

que l'infini de la quantité de points sur une droite.

Parcours possibles

Voir Périmètre de l'escalier / Fractions en zigzag / Diagonale de Cantor / Marche de l'ivrogne

APPROCHE de l'INFINI – Cas du demi-cercle

haut

Les trois courbes L₁, L₂ et L₃ ont même longueur. Et, ce serait le cas pour les courbes suivantes, en divisant à chaque fois le rayon par 2.

À la limite, cette courge se rapproche du diamètre. On aurait donc

D = 2R = 3,14… R, ce qui est absurde.

Encore un paradoxe qui montre que le passage à la limite n'est pas licite.

Les petits ponts se comptent en nombre entiers: 1, 2, 4, 16, … 2^k …, mais cela reste un nombre entier même à l'infini.

Alors que la mesure du diamètre est en nombres réels. Et, il y a beaucoup plus de réels que d'entiers.

Le paradoxe: l'un des infinis est plus grand que l'autre. Ce sont pourtant des infinis.

APPROCHE de l'INFINI – LE CERCLE

haut

À première vue, le plus grand cercle (circonférence) devrait contenir plus de points que le petit.

Or à chaque point P ou Q, il est possible d'associer un point P' ou un point Q'.

Il y a donc la même quantité de points sur les deux cercles.

Et si le petit cercle était réduit à un point et le grand à un cercle de rayon infini ?

Voir Quantité infinie de points sur une droite

APPROCHE de l'INFINI – LES BOULES		haut
Expérience Une expérience qui peut partir dans une infinité de directions ! On tire une boule, puis on la remet dans la boîte en ajoutant une boule de la même couleur. Après un certain nombre de tirages, la proportion de boules rouges et de boules bleues converge vers une valeur fixe. Mais cette valeur change à chaque fois que l’expérience est recommencée : chaque série de tirages construit sa propre limite.
Interprétation À mesure que le nombre total de boules augmente, la variance de la fréquence au tirage suivant — sachant la fréquence actuelle — diminue. L’amplitude des variations d’un tirage à l’autre devient de plus en plus faible : la fréquence doit donc converger. En revanche, le point d’arrivée reste totalement imprévisible. Toute valeur entre 0 et 1 est possible, et toutes sont équiprobables.

Voir Jeux / Statistiques

Vocabulaire de l'infini		haut
Les concepts fondamentaux
Infini Infinity	Concept désignant ce qui n'a pas de fin, de limite ou de borne, qu'il s'agisse du temps, de l'espace ou des nombres.
Infini potentiel Potential infinity	Approche philosophique et historique de l'infini (notamment chez Aristote) : un processus qui peut toujours être prolongé sans jamais être achevé en acte (comme la suite des nombres entiers qu'on peut toujours incrémenter).
Infini actuel / en acte Actual infinity	Considérer l'infini comme une totalité achevée et complète, existant en soi. C'est l'approche révolutionnaire adoptée par Georg Cantor en mathématiques.
Continu Continuum	Ensemble de points dense et sans interruption, tel qu'un segment de droite ou l'ensemble des nombres réels, où il existe toujours une infinité de valeurs intermédiaires entre deux éléments distincts.
La théorie des ensembles et la mesure
Ensemble Set	Collection d'objets distincts (les éléments), considérée comme un tout en mathématiques.
Cardinalité / Puissance Cardinality / Power	Mesure de la "taille" d'un ensemble, c'est-à-dire le nombre d'éléments qu'il contient. Deux ensembles ont la même cardinalité s'il est possible d'établir une bijection entre eux.
Bijection Bijection / One-to-one correspondence	Mise en correspondance parfaite, un pour un, entre les éléments de deux ensembles. C'est l'outil fondamental de Cantor pour comparer la taille des infinis
Dénombrable Denumerable / Countable	Qualifie un ensemble infini dont les éléments peuvent être mis en correspondance biunivoque avec la suite des nombres entiers (ex. : les nombres entiers, les nombres pairs ou les fractions). Sa cardinalité est notée (Aleph-zéro).
Indénombrable Uncountable	Qualifie un ensemble infini qui est "trop grand" pour être énuméré ou mis en bijection avec les entiers (ex. : l'ensemble des nombres réels).
Équipotent Equipotent / Equinumerous	Qualifie deux ensembles qui possèdent exactement le même nombre d'éléments (ou la même puissance), c'est-à-dire entre lesquels il est possible d'établir une bijection parfaite.
Puissance Power	(ou cardinalité / cardinality) Terme historique (notamment employé par Cantor) désignant la "taille" ou la mesure d'un ensemble infini. Deux ensembles qui ont la même puissance possèdent le même nombre d'éléments. Lorsque deux ensembles possèdent le même nombre d'éléments, ils sont équipotents; ils ont la même puissance; ils possèdent la même cardinalité.. Le cardinal d'un ensemble infini se note: Aleph .
Les nombres transfinis
Transfini Transfinite	Terme forgé par Georg Cantor pour qualifier les nombres qui sont plus grands que tous les nombres finis, tout en étant sujets à une arpentation (mesure, quantification comme un territoire) rigoureusement un territoire) et une hiérarchisation mathématique rigoureuse.
Aleph Aleph	Première lettre de l'alphabet hébreu, choisie par Cantor pour désigner les nombres cardinaux transfinis mesurant la taille des ensembles infinis. Note: Aleph est la première lettre de l'alphabet hébreu. Son unicode: 2135
Aleph-zéro Aleph-null	Le plus petit des nombres transfinis, qui représente la cardinalité de l'ensemble des nombres entiers naturels ().
Hypothèse du continu Continuum hypothesis	Conjecture formulée par Cantor selon laquelle il n'existe aucun ensemble infini dont la cardinalité est strictement comprise entre celle des entiers () et celle des nombres réels (). Indépendante des axiomes usuels des mathématiques (prouvé par Gödel et Cohen).
Propriétés et paradoxes célèbres
Argument de la diagonale de Cantor Cantor's diagonal argument	Méthode de démonstration géniale publiée par Cantor en 1891 pour prouver que l'ensemble des nombres réels est indénombrable et qu'il existe donc une infinité de tailles d'infinis strictement croissantes.
L'Hôtel de Hilbert Hilbert's Grand Hotel	Célèbre paradoxe imaginé par David Hilbert pour illustrer les propriétés contre-intuitives des ensembles infinis dénombrables (un hôtel infini complet peut toujours accueillir de nouveaux clients).

Suite	Types d'infinis Voir en haut de page
Voir	Arithmétique Finis et infinis Géométrie – Index
Liens	*Voir* Références sur l'infini
Cette page	http://diconombre.fr/aNombre/NbInfini/Intro.htm

Introduction à la notion d'infini Approche – Diconombre

Introduction à la notion d'infini
Approche – Diconombre